Question

（本小题满分12分）已知函数处的切线恰好为轴。 （I）求的值；（II）若区间恒为函数的一个单调区间，求实数的最小值；（III）记（其中），的导函数，则函数是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（I）

      

              3分

   （Ⅱ）     1分

       上单调递增；又当

       上单调递减。1分只能为的单调递减区间，

       的最小值为0。

   （III）

      

      

       于是函数是否存在极值点转化为对方程内根的讨论。

       而

            1分

       ①当

       此时有且只有一个实根

             

       存在极小值点     1分

       ②当

       当单调递减；

       当单调递增。

         1分

       ③当此时有两个不等实根

      

       单调递增，单调递减，

       当单调递增，，

       存在极小值点   1分综上所述，对时，

       存在极小值点当   

       当存在极小值点

       存在极大值点   1分  （注：本小题可用二次方程根的分布求解。）