Question

已知函数f（x）=（x+a-1）（1-3x）．
（1）若当x=a时，f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（2）若当a=1，x∈(0，

1

3

)时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）将x=a代入f（x）＜0然后根据穿针引线法写出不等式的解．
（2）当a=1时可将f（x）变形为f(x)=x•(1-3x)=

1

3

•3x•(1-3x)然后根据x的范围再利用基本不等式求解即可．

解答：解：（1）当x=a时，f（x）=f（a）=（2a-1）（1-3a）＜0
即（2a-1）（3a-1）＞0
∴a＜

1

3

或a＞

1

2

             
（2）当a=1时，f(x)=x•(1-3x)=

1

3

•3x•(1-3x)
∵x∈(0，

1

3

)
∴3x＞0，1-3x＞0
∴f(x)≤

1

3

•[

3x+(1-3x)

2

]2=

1

12

（当且仅当3x=1-3x，即x=

1

6

时取“=”号而

1

6

∈(0，

1

3

)）
∴fmax(x)=f(

1

6

)=

1

12

．

点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法和利用基本不等式求函数的最值．解题的关键是再利用穿针引线法解不等式时要注意a的系数必须转化为正而在第二问利用基本不等式时要注意将函数配凑成“积定和最大，和定及最小”同时还要注意利用基本不等式所满足的条件“一正”“二定”“三相等”．