Question

已知圆C₁：x²+y²=1，圆C₂：（x-4）²+y²=4
（1）判断两圆位置关系；
（2）若直线l为过点P（3，0）且与圆C₁相切的直线，求直线l的方程；
（3）在x轴上是否存在一定点Q（m，0），使得过Q点且与两圆都相交的直线被两圆所截得的弦长始终相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于两圆的圆心距|C₁C₂ |=4，大于两圆的半径之和，故两圆相离．
（2）由题意知，直线的斜率是存在的，由点斜式设出直线l的方程，由圆心C₁ 到直线l的距离等于半径，解方程求得
斜率k的值，即得直线l的方程．
（3）由题意知与两圆都相交的直线的斜率是存在的，由点斜式设出直线l的方程，设原点（0，0）和点（4，0）到该直线的距离分别为d₁，d2，由题意可得

1-d12

=

1-d22

，化简可得（13-8m）k²=3恒成立，即13-8m=0，且3=0，矛盾．
从而得到结论．

解答：解：（1）由于圆C₁：x²+y²=1，圆C₂：（x-4）²+y²=4的圆心C₁ （0，0），C₂（4，0），半径分别为1和2．
两圆的圆心距|C₁C₂ |=4，大于两圆的半径之和，故两圆相离．
（2）由题意知，直线的斜率是存在的，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为 y-0=k（x-3），即kx-y-3k=0．
由圆心C₁ 到直线l的距离等于半径可得 1=

|0-0-3k|

k2+1

，∴k=±

2

4

．
故直线l的方程为

2

4

x-y-

3 2

4

=0，或

2

4

x+y-

3 2

4

=0．
（3）由题意知与两圆都相交的直线的斜率是存在的，
故可以设其方程为y-0=k（x-m），即kx-y-km=0．设原点（0，0）和点（4，0）到该直线的距离分别为d₁，d2，由题意可得

1-d12

=

1-d22

，
即 d₂²-d₁²=3，∴(

|4k-km|

1+k2

)2-(

|km|

1+k2

)2=3，
即16k²-8k²m=3+3k²，即 （13-8m）k²=3恒成立．
∴13-8m=0，且3=0，矛盾．
故不存在定点Q（m，0），使得过Q点且与两圆都相交的直线被两圆所截得的弦长始终相等．

点评：本题主要考查两圆的位置关系的判定方法，直线和圆相交的性质，函数的恒成立问题，属于难题．