Question

如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=

3

2

，BC=

1

2

椭圆F以A、B为焦点，且经过点D，
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；
（Ⅱ）是否存在直线与椭圆F交于M，N两点，且线段MN的中点为点C，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（-1，0）B（1，0）D（-1，

3

2

），设椭圆F的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)得

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+1

，由此能求出椭圆F方程．
（Ⅱ）若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴，设l方程y-

1

2

=k(x-1)，代入代入

x2

4

+

y2

3

=1，得(3+4k2)x2+8k(

1

2

-k)x+4(k-

1

2

)2-12=0，设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），借助韦达定理能够导出直线l方程．

解答：解：（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则A（-1，0）B（1，0）D（-1，

3

2

）
设椭圆F的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)
得

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2=b2+1

得4a4-17a2+4=0

&∵a2＞1，

∴a2=4，，b2=3
所求椭圆F方程

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）解：若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴
设l方程y-

1

2

=k(x-1)
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得(3+4k2)x2+8k(

1

2

-k)x+4(k-

1

2

)2-12=0
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）有

x1+x2

2

=1
得

8k(k- 1 2 )

3+4k2

=2，得，k=-

3

2

又∵，点C(1，

1

2

)在椭圆

x 2

4

+

y2

3

=1内部
故所求直线l方程y=-

3

2

x+2

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．