Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，φ＞0）的最大值为7，最小值为3，周期为8，在区间[

9

2

，

11

2

]上单调递减，且函数f（x）图象过点P（5，5）．
（1）求φ的最小值；
（2）求函数f（x）图象的对称轴方程及其对称中心坐标．

Answer 1

分析：（1）由周期为8，根据周期公式可得，ω=

2π

T

=

π

4

，由函数f（x）的最大值是7，最小值是3，A＞0，可得关于a，b的方程，得a，b．再结合条件求出φ的最小值；
（2）由（1）得f（x）=2sin（

π

4

x+

7π

4

）+5，利用正弦函数的图象与性质，令

π

4

x+

7π

4

=

π

2

+2kπ及令

π

4

x+

7π

4

=kπ，即可得到函数f（x）图象的对称轴方程及其对称中心坐标．

解答：解：（1）∵最小正周期为π，由周期公式可得ω=

2π

T

=

π

4

，
∵由函数f（x）的最大值是7，最小值是3，A＞0，

A+k=7 -A+k=3

∴A=2，k=5，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+φ）+5，
又函数f（x）图象过点P（5，5）．
2sin（

π

4

×5+φ）+5=5，∴sin（

π

4

×5+φ）=0，
∴

5π

4

+φ=kπ，（k∈Z），
∴φ=kπ-

5π

4

，（k∈Z），
当k=2时，φ=

3π

4

，此时f（x）=2sin（

π

4

x+

3π

4

）+5，
由

π

2

+2kπ≤

π

4

x+

3π

4

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z），
得-1+8k≤x≤3+8k，（k∈Z），
不符合在区间[

9

2

，

11

2

]上单调递减，
当k=3时，φ=

7π

4

，此时f（x）=2sin（

π

4

x+

7π

4

）+5，
由

π

2

+2kπ≤

π

4

x+

7π

4

≤

3π

2

+2kπ，（k∈Z），
得-5+8k≤x≤-1+8k，（k∈Z），
符合在区间[

9

2

，

11

2

]上单调递减，
∴φ的最小值

7π

4

．
（2）由（1）得f（x）=2sin（

π

4

x+

7π

4

）+5，
令

π

4

x+

7π

4

=

π

2

+2kπ，（k∈Z），得x=4k-5，（k∈Z），
令

π

4

x+

7π

4

=kπ，（k∈Z），得x=4k-7，（k∈Z），
∴函数f（x）图象的对称轴方程x=4k-5，（k∈Z），
及其对称中心坐标（4k-7，5），（k∈Z）．

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，考查了正弦函数的单调区间及函数f（x）图象的对称轴方程及其对称中心坐标，考查了对基础知识的综合运用能力．