Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2B=A+C，b=2，则a+c的取值范围是

（2，4]

．

Answer 1

分析：由2B=A+C及三角形的内角和定理求出B的度数，进而得到cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，把cosB及b的值代入得到关于a与c的关系式ac=a²+c²-4，变形后根据基本不等式得出ac的最大值，然后利用完全平方公式把（a+c）²展开后，再将a²+c²=ac+4代入化简为含有ac的关系式，根据ac的最大值求出（a+c）²的最大值，开方即可得到a+c的最大值，最后再根据三角形的两边之和大于第三边，由a+c大于b可得a+c的范围，综上，得到a+c的范围．

解答：解：∵2B=A+C，且A+B+C=π，
∴B=

π

3

，即cosB=

1

2

，又b=2，
∴根据余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，即ac=a²+c²-4，
∴ac+4=a²+c²≥2ac，即ac≤4，
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=4+3ac≤16，又a+c＞b=2，
则a+c的取值范围是（2，4]．
故答案为：（2，4]

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式，以及三角形的边角关系，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理，灵活运用基本不等式是解本题的关键．