Question

（1）已知f（x）=-2asin（2x+）+2a+b，x∈[，]，是否存在常数a，b∈Q时，使得f（x）的值域为[-3，-1]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．
（2）若关于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-，]内有实数根，求实数a的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数的定义域，得sin（2x+）∈[-1，]，然后分a的正负进行讨论，建立关于a、b的方程组，解之可得存在a=-1，b=1，符合题意；
（2）将原方程整理，得a²-2a=2（sinx+）²-，由当x∈[-，]时sinx∈[-，]，从而得到2（sinx+）²-的最大最小值，得原方程在[-，]内有实数根，则a²-2a∈[-，-1]，再解关于a的不等式即可得到实数a的范围．
解答：（1）∵x∈[，]，则2x+∈[，]
∴sin（2x+）∈[-1，]---------（3分）
①当a＞0时，则，解得a=1，b=，此时b∉Q舍去；
②当a＜0时，则，解得a=-1，b=1，符合题意
综上所述，存在a=-1，b=1，使f（x）的值域为[-3，-1]．----------------（7分）
（2）方程方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0，
化简为：a²-2a=2（sinx+）²-，x∈[-，]
∵sinx在x∈[-，]的取值范围为[-，]
∴2（sinx+）²-的最大值为-1，最小值为-
因此，若原方程在[-，]内有实数根，则a²-2a∈[-，-1]
解不等式组-≤a²-2a≤-1，得a=1，
即关于x的方程-2sin²x+sin（π+x）+a²-2a+2=0在[-，]内有实数根时，实数a的范围是{1}．
点评：本题给出三角函数表达式，讨论使得函数值域为已知区间的参数取值范围．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．