Question

设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+

b+2

x+1

(x＞1)，其中b为实数．
（1）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x

-

b+2

(x+1)2

=

1

x(x+1)2

(x2-bx+1)
∵x＞1时，h(x)=

1

x(x+1)2

＞0恒成立，
∴函数f（x）具有性质P（b）；
（2）当b≤2时，对于x＞1，φ（x）=x²-bx+1≥x²-2x+1=（x-1）²＞0
所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴x=

b

2

＞1，
方程φ（x）=0的两根为：

b+ b2-4

2

，

b- b2-4

2

，而

b+ b2-4

2

＞1，

b- b2-4

2

=

2

b+ b2-4

∈(0，1)
当x∈(1，

b+ b2-4

2

)时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，
故此时f（x）在区间(1，

b+ b2-4

2

)上递减；
同理得：f（x）在区间[

b+ b2-4

2

，+∞)上递增．
综上所述，当b≤2时，f（x）在区间（1，+∞）上递增；
当b＞2时，f（x）在(1，

b+ b2-4

2

)上递减；f（x）在[

b+ b2-4

2

，+∞)上递增．