Question

已知函数f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x（x∈R）．
（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)（6分）
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．（7分）
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

6

，∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

，（8分）
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（11分）
∴函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

6

]上的最大值为1和最小值为-

1

2

．（12分）