Question

已知函数f(x)=1-

2

5x+1

．
（Ⅰ）证明：f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）当x∈[-1，2）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数单调性的定义证明：f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）根据函数的单调和值域之间的关系求函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）证明：f（x）是R上的增函数；
在R内任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

5x1-1

5x1+1

-

5x2-1

5x2+1

=

2(5x1-5x2)

(5x1+1)(5x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴5x1＜5x2，
即5x1-5x2＜0，
∴f(x1)-f(x2)=

5x1-1

5x1+1

-

5x2-1

5x2+1

=

2(5x1-5x2)

(5x1+1)(5x2+1)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）∵f（x）是R上的增函数，
∴f（x）在[-1，2）上的单调递增，
∵f(-1)=-

2

3

，f(2)=

12

13

，
∴f(x)的值域为[-

2

3

，

12

13

)．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是解决函数单调性的基本方法，利用函数的单调性求函数的值域是解题的关键．