Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件：
（1）f（-1）=0；
（2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0；
（3）当x∈（0，2）时有．
①求f（1）；
②求a，b，c的值；
③当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）当x=1时，由 f（1）-1≥0，且=1，∴f（1）=1．
（2）设二次函数为f（x）=ax²+bx+c，由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化简得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 ，代入化简可得 ，
∴．
（3）由上可得 f（x）=，∴-mx=，
因为函数g（x）在[-1，1]上单调可知，-≤-1，或-≥1，
解得m≤0，或m≥1．故m的取值范围是{m|m≤0，或m≥1}．
分析：（1）当x=1时，根据f（1）-1≥0，且=1，可得f（1）=1．
（2）由f（-1）=0 和f（1）=1，可得 b==a+c，再由f（x）-x≥0，可得 a=c=．
（3）由上可得 f（x）=，求出g（x）的解析式，由函数g（x）在[-1，1]上单调可知，
有-≤-1，或-≥1，解不等式求得m的取值范围．
点评：本题考查求函数的值的方法，二次函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出a，b，c的值，是解题的
关键．