Question

已知函数f(x)=x-4

x

+4(x≥4)的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：bn，

4	an

，3n成等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）先求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再利用等差数列求数列{

an

}的通项，最后求出数列{a_n}的通项．
（2）据bn，

4	an

，3n成等比数列求得数列{b_n}的通项，再利用错位相乘法求其前n项和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=x-4

x

+4=(

x

-2)2（x≥4），
∴f^-1（x）=(

x

+2)2（x≥0），
∴a_n+1=f^-1（a_n）=(

an

+2)2，
即

an+1

-

an

=2（n∈N*）．
∴数列{

an

}是以

a1

=1为首项，公差为2的等差数列．
∴

an

=1+2(n-1)=2n-1，即a_n=（2n-1）²（n∈N*）．
（Ⅱ）∵bn ， 

4	an

， 3n成等比数列，∴

an

=bn•3n=2n-1
从而bn=

2n-1

3n

（n∈N*）．
∴S_n=b₁+b₂++b_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

++

2n-1

3n

则

1

3

Sn=

1

32

+

3

33

+

5

34

++

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

两式相减得

2

3

Sn=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

++

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

1

3

(1-

1

3n-1

)-

2n-1

3n+1

∴Sn=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查反函数的求法，以及等差数列等比数列的通项公式和性质，还有错位相头减法求数列的前n项和．属于中档题．