Question

已知函数f （x）=

ax2+1

x+b

是奇函数，且f （1）=2．
（1）求f （x） 的解析式；
（2）判断函数f （x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂．求证f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]．

Answer 1

分析：1）利用函数f （x）=

ax2+1

x+b

为奇函数，且 f（1）=2，可得 f（-1）=-f（1）=-2，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）直接利用单调性的定义即可证明；
（3）要证f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]．利用作差法可证明

解答：解：：（1）∵f （x）=

ax2+1

x+b

为奇函数，且 f（1）=

a+1

1+b

=2
∴f（-1）=

a+1

b-1

=-f（1）=-2，解得：a=1，b=0．
∴f（x）=

1+x2

x

．
（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，在区间（0，1）上是减函数，在（-1，0）上单调递减，在（-∞，-1）上单调递增
证明：∵函数的定义域为{x|x≠0}
在区间（0，+∞）上任取x₁，x₂，令0＜x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，x₁x₂＞0，
①当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
②x₁＜x₂≤1时，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
故函数f（x）在区间（0，1）上是减函数
根据奇函数的对称性可知，函数在（-1，0）上单调递减，在（-∞，-1）上单调递增
（3）∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂．
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

x1+x2

2

+

2

x1+x2

-

x1+ 1 x1

2

-

x2+ 1 x2

2

=

2

x1+x2

-

x1+x2

2x1x2

=

4x1x2-(x1+x2)2

2x1x2

=

-(x1-x2)2

2x1x2

＜0
∴f(

x1+x2

2

)＜

1

2

[f(x1)+f(x2)]

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，及利用作差法证明不等式，属于中档题．