Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数有极小值1，无极大值；

（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）7．

【解析】

（Ⅰ）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断其单调性，结合极值的定义进行求解即可；

（Ⅱ）对函数进行求导，根据导函数的正负性分类讨论判断其单调性即可；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）求出函数在时的最小值，结合任意性的定义，

问题对任意的，，恒有成立可以转化为，

然后进行常变量分离，构造新函数，对新函数进行求导，结合新函数的单调性进行求解即可.

（Ⅰ）因为，所以，函数的定义域为.

，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以函数有极小值，其值为，

函数没有极大值.

即函数有极小值1，无极大值；

（Ⅱ）函数的定义域为，．

（1）当时， ，在上单调递增．

（2）当时，，，单调递减，

，，单调递增．

综上所述：当时，在上单调递增，

当时，，单调递减，，单调递增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

恒成立，则只需恒成立，

则，

，

令，则只需，

则，

，，单调递减，

，，单调递增，

，

即，，

的最大整数为7．