Question

设f(x)＝ax²＋bx＋c(a＞b＞c)，f(1)＝0，g(x)＝ax＋b，

(1)求证：函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点．

(2)设f(x)与g(x)的图象的交点A，B在x轴上的射影为A₁，B₁，求|A₁B₁|的取值范围．

(3)求证：当x≤－时，恒有f(x)＞g(x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)ax2＋bx＋c＝ax＋b，即ax2＋(b－a)x＋c－b＝0，(*)其判别式Δ＝(b－a)2－4a(c－b)．由f(1)＝a＋b＋c＝0且a＞b＞c，知a＞0，c－b＜0，从而Δ＞0，命题得证． 　　(2)设方程(*)的两根为x1，x2，则 　　而|A1B1|＝|x1－x2|＝．因为a＞b＞c，a＋b＋c＝0a＞0，1＞＞，即1＞＞，所以－2＜＜－．从而＜|A1B1|＜2． 　　(3)令F(x)＝f(x)－g(x)＝ax2－(2a＋c)x＋a＋2c，因为x≤－，所以x2≥3，且－x≥＞1．又因为2a＋c＞0，所以－x(2a＋c)≥2a＋c．所以F(x)＞3a＋(2a＋c)＋(a＋2c)＝3(2a＋c)＞0．即F(x)＞0，所以当x≤－时，恒有f(x)＞g(x)．