Question

已知函数f（x）=sin²ωx-

3

sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π
（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在[0，

2π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）先将函数根据三角函数的二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为一个角是一个三角函数的形式，根据周期公式可得ω的值．通过正弦函数的单调区间直接解函数单调增区间即可．
（2）通过x的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的值域，直接求出所求函数的值域即可．

解答：解：（1）、f（x）=sin²ωx-

3

sinωxcosωx
=

1-cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx
=

1

2

-sin(2ωx+

π

6

)
因为函数f（x）=sin²ωx-

3

sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期π
所以ω=1
因为f（x）=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
单调递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（2）、f（x）=

1

2

-sin(2x+

π

6

)
∵x∈[0，

2π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

3π

2

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]，
∴

1

2

-sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，

3

2

]，
所以函数的值域为：[-

1

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法，以及函数的值域的求法，一般先将函数化简为一个角是一个三角函数的形式再解题．