Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）．

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，存在，，使得成立成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）

【解析】

试题分析：（1）要求单调区间，先求出导函数，然后解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）要解决本小题的问题，首先进行问题的理解与转化：“存在，，使得成立成立”，等价于“时，”，这样下面主要问题是求的最大值与最小值．求出函数式，再求出导数，，由此分类，分三类：，，，分别求得的最大值和最小值，然后解不等式可得的范围．

试题解析：（1）∵函数的定义域为，，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减．

（2）假设存在，，使得成立，则．

∵，

∴．

①当时，，在上单调递减，

所以，就；

②时，，在上单调递增，

所以，即；

③时，在，，在上单调递减，在，，在上单调递增．

所以，即 （*）

由（1）知，在上单调递减，故，

而，所以不等式（*）无解．

综上所述，存在，使得命题成立．