Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？写出结论，并加以证明．
（3）当EM为何值时，AM⊥BE？写出结论，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明：BC⊥平面ACFE；
（2）根据线面平行的判定定理，确定EM的长度，然后根据AM∥平面BDF的判定定理即可得到结论．
（3）要证明AM⊥BE，则只需证明AM⊥平面BCE即可得到结论．

解答：（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE
（2）当EM=

3

3

a时，AM∥平面BDF，
在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2，
∵EM=

3

3

a、而EF=AC=

3

a，
∴EM：MF=1：2，
∴MF

∥ .

.

AN，∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF
又∵NF?平面BDF，AM?平面BDF∴AM∥平面BDF，
（3）连结CE，由1）知BC⊥平面ACFE，
∴BC⊥AM
当AM⊥CE时△AEM∽△CAE有

AC

AE

=

AE

EM

即

3 a

a

=

a

EM

得EM=

3

3

a，
∴当EM=

3

3

a时AM⊥CE，即AM⊥平面BCE，也即AM⊥BE．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握常用的判定定理和性质定理．