Question

如图，点A在锐二面角α-MN-β的棱MN上，在面α内引射线AP，使AP与MN所成的角∠PAM为45°，与面β所成的二面角大小为30°，求二面角α-MN-β的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解：在射线AP上取一点B，作BH⊥β于H，连结AH，则∠BAH为射线AP与平面β所成的角，∴∠BAH=30°再作BQ⊥AM，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，知HQ⊥MN， ∴∠BQH为二面角α-NM-β的平面角． 设BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BAQ=90°，∠BAM=45°，， ∴在Rt△ABH中，∠BAH=30°， ∴． ∴在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°， BQ=a，， ． ∵∠BQH是锐角，∴∠BQH=45°，即二面角α-NM-β等于45°

提示：

首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中(最好是直角三角形)，通过解三角形使问题得到解决． 本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所成的角，斜线与平面所成的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各自的定义添加适当的辅助线．