Question

（本题满分12分）
在直角梯形PBCD中，，A为PD的中点，如下左图。将沿AB折到的位置，使，点E在SD上，且，如下右图。
（1）求证：平面ABCD；
  （2）求二面角E—AC—D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF//平面EAC？若存在，确定F的位置， 若不存在，请说明理由。

Answer 1

,F（2，1，0）为BC的中点

解法一：（1）证明：在上左图中，由题意可知，
为正方形，
所以在上右图中，，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为，ABBC，
所以BC平面SAB，          （2分）
又平面SAB，
所以BCSA，
又SAAB，
所以SA平面ABCD， （4分）
  （2）在AD上取一点O，使，连接EO。
因为，所以EO//SA
所以EO平面ABCD，
过O作OHAC交AC于H，连接EH，
则AC平面EOH，
所以ACEH。
所以为二面角E—AC—D的平面角，

在中，

，
      即二面角E—AC—D的正切值为  （9分）
（3）当F为BC中点时，SF//平面EAC，
理由如下：取BC的中点F，连接DF交AC于M，
连接EM，AD//FC，
所以，又由题意
SF//EM，又平面EAC，
所以SF//平面EAC，即当F为BC的中点时，
SF//平面EAC  （12分）
解法二：（1）同方法一（4分）
（2）如图，以A为原点建立直角坐标系，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）
      易知平面ACD的法向为
设平面EAC的法向量为

由，
所以，可取
所以  （7分）
所以
所以
即二面角E—AC—D的正切值为   （9分）
（3）设存在，
所以SF//平面EAC，
设
所以，由SF//平面EAC，
所以，所以0，
即，即F（2，1，0）为BC的中点      （12分）