Question

如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．
（Ⅰ） 求证：AC⊥BE；
（Ⅱ） 求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，
∴AC⊥平面BDE，结合BE?平面BDE，得AC⊥BE；…（4分）
（II）因为直线BD、BC、BE两两垂直，所以分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系
设AD=3，则可得DE=3，AF=1
因此，D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，0），E（0，0，3），F（3，0，1）
∴=（0，-3，1），=（3，0，-2）…（5分）
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），得，
令z=3，得x=2且y=1，可得=（2，1，3），…（7分）
∵AC⊥平面BDE，得=（-3，3，0）是平面BDE的一个法向量
∴二面角F-BE-D的大小即为向量、所成角的大小（或其补角）
∵cos===-
∴结合图形加以观察，
可得二面角F-BE-D的余弦值为|cos|=；…（10分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，
根据（II）的结论，设M（t，t，0）（）．
则=（t-3，t，0）．
∵AM∥平面BEF，∴•=0，即2（t-3）+t=0，解之得t=2．…（12分）
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当BM=BD时，AM∥平面BEF．…（14分）
分析：（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根据DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，从而可得AC⊥BE；
（II）分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系．设AD=3，则可得DE=3，AF=1，可得D、A、B、C、E和F各点的坐标，进而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面BEF的一个法向量为=（2，1，3），而=（-3，3，0）是平面BDE的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角F-BE-D的余弦值；
（III）设M（t，t，0）（）．可得关于t的坐标形式，根据AM∥平面BEF，得⊥=0，由数量积为零建立关于t的方程，解之得t=1，从而得到当BM=BD时，AM∥平面BEF．
点评：本题给出四棱锥的一条侧棱与底面垂直且底面是正方形，求证线面垂直并求二面角的余弦值大小，着重考查了线面垂直、平行的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角的求法等知识，属于中档题．