Question

（2010•舟山模拟）一个半径为1的小球在一个棱长为4

6

的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

72

3

．

Answer 1

分析：小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为4

6

，故小三角形的边长为2

6

，做出面积相减，得到结果．

解答：解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，
易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，
正四面体的棱长为4

6

故小三角形的边长为2

6

小球与一个面不能接触到的部分的面积为

1

2

×4

6

×4

6

×

3

2

-

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=18

3

，
∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是4×18

3

=72

3

故答案为：72

3

点评：本题考查棱柱的结构特征，本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么，看出是一个正三角形，这样题目做起来就方向明确．