Question

已知f（x）为一次函数，且有

7

i=1

f(i)=7，

15

i=1

f(i)=75， (

n

i=1

ai=m表示a1+a2+…+an=m)．
（1）求f（n）（n∈N^*）
（2）若bn=2f(n)+n，求

n

i=1

bi．

Answer 1

分析：（1）f（x）为一次函数，可设f （n）=an+b．利用等差数列求和公式，列出给她a，b的方程求解．
（2）bn=2f(n)+n=2n-3+n=

1

8

×2n+n，先分组，再利用等差数列，等比数列求和公式计算化简．

解答：解：∵f（x）为一次函数∴可设f （n）=an+b （a≠0）由题意知

a 7×8 2 +7b=7 a 15×16 2 +15b=75

…（3分），
即

4a+b=1 8a+b=5

，解得a=1，b=-3 …（5分）
∴f （n）=n-3 …（6分）
（2）bn=2f(n)+n=2n-3+n=

1

8

×2n+n…（7分）
∴

n

i=1

bi=b1+b2+b3+…+bn
=(

1

8

×21+1)+(

1

8

×22+2)+(

1

8

×23+3)+…+(

1

8

×2n+n)
=

1

8

×(21+22+23+2n)+(1+2+3+n)…（10分）
=

1

8

×(2n+1-2)+

n(n+1)

2

…（12分）

点评：本题是函数与数列的结合题目．考查函数的性质，数列求和，属于中档题．