Question

（2013•嘉兴二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）设

AP

PB

=λ，当λ为何值时，二面角C-A′B′-P的大小为60°？

Answer 1

分析：（I）利用线面平行的判定定理即可证明FC∥平面A'PE．再利用线面垂直的性质定理即可证明B^′F∥A^′E，进而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到
平面B'CF∥平面A'PE，从而得到线面平行；
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．

解答：（Ⅰ）证明：∵FC∥PE，FC?平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．
∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．
同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，从而B'F∥平面A'PE．
∴平面B'CF∥平面A'PE，从而B'C∥平面A'PE．
（Ⅱ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．
则C（0，0，0），A′(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，B′(

λa

λ+1

，0，

a

λ+1

)，P(

λa

λ+1

，

a

λ+1

，0)．
∴

CA′

=(0，

a

λ+1

，

λa

λ+1

)，

A′B′

=(

λa

λ+1

，-

a

λ+1

，

(1-λ)a

λ+1

)，

B′P

=(0，

a

λ+1

，-

a

λ+1

)．
平面CA'B'的一个法向量

m

=(

1

λ

，λ，-1)，
平面PA'B'的一个法向量

n

=(1，1，1)．
由

| m • n |

| m || n |

=

| 1 λ +λ-1|

1 λ2 +λ2+1 • 3

=cos60°=

1

2

，
化简得

1

λ2

+λ2-

8

λ

-8λ+9=0，解得λ=

7±3 5

2

．

点评：熟练掌握线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面平行的判定与性质定理、线面平行、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的方法等是解题的关键．