题目内容

（1）已知数列{an}的通项公式：an=
2•3n+2
3n-1
  (n∈N)，试求{an}最大项的值；
（2）记bn=
an+p
an-2
，且满足（1），若{ (bn)
1
3
 }成等比数列，求p的值；
（3）（理）如果Cn+1=
Cn+p
Cn+1
， C1＞-1 ，C1≠
2
，且p是满足（2）的正常数，试证：对于任意
自然数n，或者都满足C2n-1＞
2
 ， C2n＜
2
；或者都满足C2n-1＜
2
 ， C2n＞
2
．
（文）若{bn}是满足（2）的数列，且{ (bn)
1
3
 }成等比数列，试求满足不等式：-b1+b2-b3+…+（-1）n•bn≥2004的自然数n的最小值．
分析：（1）将等式化简，利用指数函数的性质可得an≤4．从而可得{an}的最大项的值．
 （2）欲使{ (bn)
1
3
 }成等比数列，只需{bn}成等比数列． 利用条件即等比数列的通项可求；
（3）（理）p=2，Cn+1=
Cn+2
Cn+1
=1+
1
Cn+1
，从而可有(C2n-
2
) (C2n-1-
2
)＜0，故可证；
（文）∵p=-2不合题意，∴p=2⇒bn=3n，从而可求-b1+b2-b3+…+（-1）n•bn的和，进而可解不等式，求出自然数n的最小值．
解答：解：（1）an=
2 (3n-1)+4
3n-1
=2+
4
3n-1
，
∴an-2=
4
3n-1
≤
4
31-1
=2，则an≤4．
即{an}的最大项的值为4．
（2）欲使{ (bn)
1
3
 }成等比数列，只需{bn}成等比数列．
∵bn=
an+p
an-2
=
2+p
4
•3n+
2-p
4
，∴只需
2+p
4
=0或
2-p
4
=0即可．解得p=2或p=-2．
（3）（理）p=2，Cn+1=
Cn+2
Cn+1
=1+
1
Cn+1
，
∵C1＞-1，∴Cn＞-1．又C1≠
2
，
∴C2≠
2
 ， … ， Cn≠
2
．
∵(C2n-
2
) (C2n-1-
2
)=
(1-
2
) ( C2n-1-
2
)
C2n-1+1
＜0，
∴C2n-1＞
2
 ， C2n＜
2
；或C2n-1＜
2
 ， C2n＞
2
．
（文）∵p=-2不合题意，∴p=2⇒bn=3n，
据题意，
-3 [ 1-(-3)n]
1-(-3)
≥2004⇒(-3)n+1≤-4019，nmin=8．
点评：本题以数列为载体，考查数列与不等式，考查等比数列的求和，有较强的综合性．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知数列{an}的第1项 a1=1，且an+1=
an
1+an
（ n=1，2，3…）使用归纳法归纳出这个数列的通项公式．（不需证明）
（2）用分析法证明：若a＞0，则
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．
（1）已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，求数列{an}的通项公式
（2）已知数列{an}的通项公式为an=n•2n，求数列{an}的前n项和．
（1）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若Sn=
1
4
（an+1）2．
①求{an}的通项公式；
②设m，k，p∈N*，m+p=2k，求证：
1
Sm
+
1
Sp
≥
2
Sk

（2）若{an}是等差数列，前n项和为Tn，求证：对任意n∈N*，Tn，Tn+1，Tn+2不能构成等比数列．
（1）已知数列{an}中，a1=1，且满足an+1=3an+1，n∈N*，求数列{an}的通项公式
（2）已知数列{an}中，a1=2，an=
an-12an-1+1
(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
（1）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n，求证数列{an}成等差数列．
（2）已知
1
a
，
1
b
，
1
c
成等差数列，求证
b+c
a
，
c+a
b
，
a+b
c
也成等差数列．

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