Question

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为

3

2

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）⊙Q过M、F、O三点，结合圆的性质得Q点一定在线段FO的中垂线y=

p

4

上，再根据Q到抛物线C的准线的距离为3，由此列方程并解之可得p=2，从而得到抛物线C的方程；
（II）将抛物线化成二次函数：y=

1

4

x²，利用导数的几何意义，得到切线MQ：y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)，结合y_Q=

1

2

，得到xQ=

1

x0

+

x0

2

，最后根据两点间的距离公式结合|MQ|=|OQ|列出关于x₀的方程并解之，可得存在M(2

2

，2)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M．

解答：解：（Ⅰ）∵⊙Q过M、F、O三点，
∴Q一定在线段FO的中垂线上，
∵抛物线x²=2py的焦点F（0，

p

2

），O（0，0）
∴FO的中垂线为：y=

p

4

，设Q（x_Q，y_Q），得yQ=

p

4

，
结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，解之得p=2
由此可得，抛物线C的方程为x²=4y
（Ⅱ）设存在点M（x0，

x02

4

），抛物线化成二次函数：y=

1

4

x²，
对函数求导数，得y′=

1

2

x，得切线MQ：y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)，
由（1）知，y_Q=

1

2

，所以对MQ方程令y=

1

2

，得xQ=

1

x0

+

x0

2

∴Q（

x0

2

+

1

x0

，

1

2

），
结合|MQ|=|OQ|得：(

x0

2

+

1

x0

)2+

1

4

=(

x0

2

-

1

x0

)2+(

x02

4

-

1

2

)2，
解之得x0=2

2

，得M(2

2

，2)
所以存在M(2

2

，2)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M．

点评：本题给出抛物线上两个点与它的焦点在同一个圆上，在已知圆心到准线距离的情况下求抛物线方程并探索抛物线的切线问题，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与抛物线关系等知识，属于中档题．