Question

已知：a＞0，b＞0，a+b=1，
（1）求证：； （2）求：的最小值．

Answer 1

解：（1）证明：因为1=a+b≥2 ，所以ab≤，所以 （a+b）+ab+≤1，
所以 ≤1，从而有 2+2 ≤4，
即：（a+ ）+（b+ ）+2 ≤4，
即：（ + ）²≤4，所以原不等式成立．
（2）=，
∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴=，即ab≤当且仅当a=b=是等号成立
∴=≥8，即当a=b=时，的最小值为8．
分析：（1）由基本不等式可得ab≤，故有 ≤1，从而有 2+2 ≤4，即（ + ）²≤4，可得不等式成立．
（2）根据基本不等式可得ab≤，而=，从而求出所求．
点评：本题考查用综合法证明不等式，得到：（a+ ）+（b+ ）+2 ≤4，是解题的关键．