Question

设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是定义在R上的奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线方程是6x+y+4=0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）．
即﹣ax³﹣bx+c=﹣ax³﹣bx﹣c．
解得c=0.
又直线6x+y+4=0的斜率为﹣6，
所以f '（1）=3a+b=﹣6．
把x=1代入6x+y+4=0中得
f（1）=﹣10
点（1，﹣10）在函数f（x）的图象上，则a+b=﹣10
解得a=2，b=﹣12．
所以a=2，b=﹣12，c=0.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³﹣12x．所以．

所以函数f（x）的单调增区间是和．
因为f（﹣1）=10，，f（3）=18，
f（x）在[﹣1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是．