Question

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=1时，求k的值；
（Ⅱ）当b∈（1，），求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．把圆心坐标（1，1）代入直线l：y=kx，可得k的值．
（Ⅱ）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及，求得．令，则f（b）
在区间上单调递增，求得，可得 ，解此不等式求得k的取值范围（注意检验△＞0）．
解答：解：（Ⅰ）圆C：（x-1）²+（y-1）²=1，当b=1时，点M（0，b）在圆C上，
当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．…（2分）
∵圆心C的坐标为（1，1），∴k=1．…（4分）
（Ⅱ）由 ，消去y得：（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0．①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴．…（6分）
∵MP⊥MQ，∴．
∴（x₁，y₁-b）•（x₂，y₂-b）=0，即 x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（kx₁-b）（kx₂-b）+x₁x₂=0，即．…（8分）
∴，即 ．
令，则f（b）在区间上单调递增．
∴当时，．…（11分）
∴．
即 ，解得 ，
∴或．…（13分）
由①式得△=[2（1+k）]²-4（1+k²）＞0，解得k＞0．
∴，或．
∴k的取值范围是．…（14分）
点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，利用函数的单调性求函数的值域，一元二次不等式的解法，属于中档题．