Question

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A₁，A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂,左、右焦点分别为F₁，F₂．原点到直线A₂B₂的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF₂F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点,直线PA₁，PA₂，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N 的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）＋y²＝1 ；(2) ∠EF₂F是锐角；(3) 线段OT的长度为定值2.

【解析】

试题分析：（1）因为椭圆C的离心率e＝，故设a＝2m，c＝m，则b＝m,直线A₂B₂方程为 bx ay ab＝0,所以＝，解得m＝1,故椭圆方程为＋y²＝1； (2)联立椭圆和直线方程解出交点坐标E(，)，F( ， ) ，根据向量数量积为正可判断∠EF₂F是锐角；(3) 由（1）可知A₁(0，1)A₂(0，1),设P(x₀，y₀), 直线PA₁：y 1＝x，令y＝0,得x_N＝ ，直线PA₂：y＋1＝x，令y＝0,得x_M＝，接下来有两种方法，解法一，设圆G的圆心为( ( )，h),利用圆的方程和勾股定理求解；解法二，OM·ON＝|( )·|＝，利用切割线定理得求解.

试题解析：（1）因为椭圆C的离心率e＝，

故设a＝2m，c＝m，则b＝m．

直线A₂B₂方程为 bx ay ab＝0，

即mx 2my 2m²＝0．

所以＝，解得m＝1．

所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y²＝1．                         5分

由得E(，)，F( ， )．            .7分

又F₂(，0)，所以＝( ，)，＝(  ， )，

所以·＝( )×(  )＋×( )＝＞0．

所以∠EF₂F是锐角．                                         10分

（3）由（1）可知A₁(0，1) A₂(0， 1),设P(x₀，y₀),

直线PA₁：y 1＝x，令y＝0,得x_N＝ ；

直线PA₂：y＋1＝x，令y＝0,得x_M＝；              12分

解法一:设圆G的圆心为( ( )，h),

则r²＝[ ( ) ]²＋h²＝ (＋)²＋h²．

OG²＝ ( )²＋h²．

OT²＝OG² r²＝ ( )²＋h²  (＋)² h²＝．    .14分

而＋y₀²＝1，所以x₀²＝4(1 y₀²)，所以OT²＝4，

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.                              16分

解法二:OM·ON＝|( )·|＝,

而＋y₀²＝1，所以x₀²＝4(1 y₀²)，所以OM·ON＝4．

由切割线定理得OT²＝OM·ON＝4．

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.                              16分

考点：椭圆直线综合、点到直线距离公式、向量数量积的计算、圆的方程.