Question

△ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为a、b、c，

m

=(a，cosB)，

n

=(cosA，-b)，a≠b，已知

m

⊥

n

．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若abx=a+b，试确定实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过

m

⊥

n

推出acosA-bcosB=0，结合正弦定理化简此式，推出A，B的关系，然后求sinA+sinB的取值范围；
（2）利用abx=a+b，结合正弦定理，推出x的表达式，利用换元法，结合函数的单调性，试确定实数x的取值范围．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0，∴acosA-bcosB=0．
由正弦定理知，

a

sinA

=

b

sinB

=2R=1，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B．
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．
∴A=B，A+B=

π

2

．sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin(A+

π

4

)≤1．
∴sinA+sinB的取值范围为(1，

2

]．
（2）∵abx=a+b，∴sinA•sinB•x=sinA+sinB
∴x=

sinA+cosA

sinAcosA

．
令sinA+cosA=t∈(1，

2

]，sinAcosA=

t2-1

2

，
∴x=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

．
∵t-

1

t

在(1，

2

]单调递增，∴0＜t-

1

t

≤

2

-

1

2

=

2

2

，
∴x≥2

2

，故x的取值范围为[2

2

，+∞)．

点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，三角函数的最值，注意换元法的应用，函数的单调性是求最值的一种方法，考查计算能力，转化思想．