Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，．
（1）求数列{a_n}的通项a_n的表达式；
（2）是否存在自然数n，使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴na_n=s_n+2n（n-1）①，
　（n-1）a_n-1=s_n-1+2（n-1）（n-2）（n≥2）②，
①-②有：（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=4（n-1）（n≥2），
∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
∴{a_n}是1为首项，4为公差的等差数列，
∴a_n=4n-3．
　（2）由已知条件可得，当n≥2时，，
　整理得：（n-1）s_n-ns_n-1=2n（n-1），等式两端同除以n（n-1），
　得（n≥2），又，
∴是1为首项，2为公差的等差数列，
∴．
∴==2n-1，
∴存在自然数n，使等式成立，则2n-1=2011，解得n=1006，合乎题意．
分析：（1）已知s_n求a_n是数列中的常见题形，解决的办法是分n=1与n≥2两种情况分别求得a₁与a_n，从而可求得a_n；
（2）在n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=，经过合理转化，可得，又a₁=1，利用等差数列的定义可以求得，从而问题解决．
点评：本题考查递推数列，考查数列通项公式的求法与数列求和，解题的关键是合理转化，利用等差数列的定义求通项，利用等差数列的求和公式求数列的和．