题目内容

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且 $数学公式$ （ C为圆心）．则该圆的半径为，m的值为．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标，表示出圆C的半径r，然后由点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由 $\text{[math]}$ 得到CP⊥CQ，即三角形CPQ为等腰直角三角形，根据余弦函数定义得到d=CPcos45°，求出CP的长，即为圆C的半径，然后用求出的圆的半径等于表示出的半径r，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值．
解答：把圆x²+y²+x-6y+m=0化为标准方程得：（x+ $\text{[math]}$ ）²+（y-3）²= $\text{[math]}$ ，
∴圆心 $\text{[math]}$ ，半径 $\text{[math]}$ ，
则圆心 $\text{[math]}$ 圆心到直线x+2y-3=0的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴CP⊥CQ，又CP=CQ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CP= $\text{[math]}$ d= $\text{[math]}$ ，即圆C的半径为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，以及平面向量的数量积的运算，由平面向量的数量积为0得到两向量互相垂直是解本题的突破点，同时要求学生会将圆的一般式方程化为标准方程，会从圆的标准方程中找出圆心坐标和圆的半径．