Question

（2012•台州一模）已知数列{a_n}，{b_n}满足：a1=

9

2

，2an+1-an=6•2n，bn=an-2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列．并求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N*都有

Sn

Tn

≤

m

bn

，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式整理变形，利用等比数列的定义，可得数列{b_n}为等比数列，从而可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）对任意的n∈N^*都有

Sn

Tn

≤

m

bn

，等价于m≥(4•2n+1)

1

2n

=4+

1

2n

对任意的n∈N^*成立，由此可求实数m的最小值．

解答：（Ⅰ）证明：由已知得2(an+1-2n+2)=an-2n+1，…（2分）
∵bn=an-2n+1，∴2b_n+1=b_n
∵a1=

9

2

，∴b1=

1

2

，
∴{b_n}为等比数列．…（4分）
所以bn=(

1

2

)n，…（6分）
进而an=2n+1+(

1

2

)n．…（7分）
（Ⅱ）解：

Sn

Tn

=

(22+23+…+2n+1)+( 1 2 +…+ 1 2n )

1 2 +…+ 1 2n

=

2n+2-4

1- 1 2n

+1=4•2ⁿ+1…（10分）
则m≥(4•2n+1)

1

2n

=4+

1

2n

对任意的n∈N^*成立． …（12分）
∵数列{4+

1

2n

}是递减数列，∴(4+

1

2n

)max=

9

2

∴m的最小值为

9

2

． …（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查恒成立问题，正确求通项是关键．