Question

已知函数f（x）=

1

2

cos2x+

3

sinxcosx-2cos²x，
（1）求f（x）的最大值；
（2）若f（a）=-

1

5

，求cos（2a+

π

3

）的值；
（3）若

π

3

＜a＜

π

2

，f（a）=-

1

5

，求cos2a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得函数的最大值和相应的x的值．
（2）把x=a代入函数解析式，求得sin（2x-

π

6

）的值，进而利用诱导公式求得cos（2a+

π

3

）的值．
（3）由（2）利用同角关系式，求得cos（2x-

π

6

）的值，进而利用配角法求得cos2a的值．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

cos2x+

3

sinxcosx-2cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

1

3

π（k∈Z）时，f（x）取得最大值 0；

（2）∵f（a）=-

1

5

，即sin（2x-

π

6

）-1=-

1

5

，
∴sin（2x-

π

6

）=

4

5

，
∴cos（2a+

π

3

）=cos[（2a-

π

6

）+

π

2

]=-sin（2a-

π

6

）=-

4

5

．
（3）若

π

3

＜a＜

π

2

，

π

2

＜2x-

π

6

＜

5π

6

，sin（2x-

π

6

）=

4

5

，
则cos（2x-

π

6

）=-

3

5

，
∴cos2a=cos[（2a-

π

6

）+

π

6

]
=cos（2a-

π

6

）cos

π

6

-sin（2a-

π

6

）sin

π

6

=-

3

5

×

3

2

-（-

4

5

）×

1

2

=

-3 3 +4

10

．

点评：本题主要考查了利用两角和公式，二倍角公式和诱导公式化简求值，三角函数的单调性等．考查了基础知识的综合运用．