Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为

2

+1．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点C（m，0）是线段OF上异于O、F的一个定点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|=|BC|，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据题意建立关于a、b、c的方程组，解之可得a=

2

且b=1，从而得到该椭圆的标准方程；
（II）根据题意设直线l其方程为y=k（x-1），直线方程与椭圆消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）满足x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，y₁+y₂=

-2k

2k2+1

，从而得到AB的中点为M（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

），由|AC|=|BC|得CM⊥AB，利用斜率之积为-1建立关于k、m的关系式，整理后加以讨论即可得答案．

解答：解：（1）∵离心率为

2

2

，椭圆上任意一点到右焦点f的距离的最大值为

2

+1．
∴e=

c

a

=

2

2

且a+c=1+

2

，解之得a=

2

，c=1，从而得到b=

a2-c2

=1
∴椭圆方程为：

x2

2

+y2=1                 …（4分）
（II）由（I）得F（1，0），所以0＜m＜1，
假设存在满足题意的直线l，设其方程为y=k（x-1），与椭圆方程消去y，
得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x₁x₂=

2k2-2

2k2+1

，
代入直线方程可得y₁+y₂=

-2k

2k2+1

     …（8分）
设AB的中点为M，则M坐标为（

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

），
∵|AC|=|BC|，∴CM⊥AB可得k_CM•k_AB=-1
∴

4k2

2k2+1

-2m+

-2k

2k2+1

•k=0，整理得k²（1-2m）=m
当0＜m＜

1

2

时，k=±

m 1-2m

，即存在满足条件的直线l；
当

1

2

≤m＜1时，k不存在，即不存在满足条件的直线l              …（12分）

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程并讨论等腰三角形的存在性，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．