Question

（2012•东城区模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

2

．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF₂F₁=∠MF₂A．
（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；
（ⅱ）求斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意知e=

c

a

及c²=a²-b²可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程
（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x₁+x₂，x₁x₂，由∠NF₂F₁=∠MF₂A．可得KMF2+KNF2=0，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围

解答：解：（I）由题意知e=

c

a

=

2

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²．
又因为b=

2

1+1

=1，所以a²=2，b²=1．
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1（5分）
（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）.

y=kx+m x2+2y2=2

得(2k2+1)x2+4kmx+(2m2-2)=0．
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，得m²＜2k²+1．
则有x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．（7分）
因为∠NF₂F₁=∠MF₂A，且∠MF₂A≠90°，
所以kMF2+kNF2=0，又F2(1，0)（8分）

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化简得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0．
将x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

代入上式得m=-2k（满足△＞0）．
直线l的方程为y=kx-2k，即直线过定点（2，0）（12分）
将m=-2k代入m²＜2k²+1．得 4k²＜2k²+1．且k≠0
直线l的斜率k的取值范围是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)．（14分）

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程及直线与椭圆位置关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于圆锥曲线知识的综合应用