Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，O为AB的中点，且PO⊥AC。

   （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD。

   （Ⅱ）求D点到平面PBC距离

   （Ⅲ）求二面角P―AC―B的大小。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）证明：∵△PAB为等边三角形，O为AB中点，

    ∴PO⊥AB。

    又PO⊥AC，且AB∩AC=A，

    ∴PO⊥平面ABＣＤ。

　　又PO平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD

   （Ⅱ） 

   （Ⅲ）过O做OE⊥AC，垂足为E，连接PE，

∵PO⊥平面ABCD，

由三垂线定理，可知PE⊥AC。

    ∴∠PEO为二面角P―AC―B的平面角。

    设底面正方形边长为2，可求得OE=。

    又

∴二面角P―AC―B的大小为

    解法二：（Ⅰ）证明：同解法一。

   （Ⅱ）建立如图的空间直角坐标系       

   （Ⅲ）设为平面PAC的一个法向量，

    则

    由A（-1，0，0），P（0，0，），C（1，2，0）。

    可得

   

    令

    得

    又是平面ABC的一个法向量，

设二面角P―AC―B的大小为，