Question

已知成等差数列．又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=3，此数列的前n项的和S_n（n∈N₊）对所有大于1的正整数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的第n+1项；
（2）若，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：1≤T_n＜2（n∈N₊）

Answer 1

解：（1）∵成等差数列，
∴
∴．（2分）
∵S_n=f（S_n-1），（n≥2），
∴，
∴，
∴{}是以为公差的等差数列．（4分）
∵a₁=3，
∴S₁=a₁=3，
∴，
∴S_n=3n²（n∈N₊）．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=3（n+1）²-3n²=6n+3．（6分）
（2）由（1）得（n≥2）（8分）
所以（11分）
显然T_n≥b₁=1，
综上1≤T_n＜2（n∈N₊）（12分）
分析：（1）由成等差数列，知，所以．由S_n=f（S_n-1），（n≥2），知，由此能求出数列{a_n}的第n+1项．
（2）由（n≥2），，由此能证明1≤T_n＜2（n∈N₊）．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．注意裂项求和中的灵活运用．易错点是计算量大，且比较繁琐，容易出错．