Question

【题目】设实数a∈R，函数 是R上的奇函数． （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）当x∈（1，1）时，求满足不等式f（1m）+f（1m2）＜0的实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为函数 是R上的奇函数，所以f（0）=0．

即 ，解得a=1．（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），得 ．

因为f（x）是R上的奇函数，由f（1m）+f（1m2）＜0，

得f（1m）＜f（1m2），即f（1m）＜f（m21）．

下面证明f（x）在R是增函数．

设x1，x2∈R且x1＜x2，则

因为x1＜x2，所以 ， ，而 ，

所以 ，

即f（x1）＜f（x2），所以 是R上的增函数．

当x∈（1，1）时，由f（1m）＜f（m21）得 ，

解得 ．

所以，当x∈（1，1）时，满足不等式f（1m）+f（1m2）＜0的实数m的取值范围是 ．

【解析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可，（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．