Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A-cos2B=2cos(

π

6

-A)cos(

π

6

+A)
（1）求角B的值；
（2）若b=

3

且b≤a，求a-

1

2

c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2-2sin²A-2cos²B=

3

2

cos²A-

1

2

 sin²A，求得cos²B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值．
（2）由b=

3

≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得 2R=

b

sinB

=2．令z=a-

1

2

c，由余弦定理化简可得

3

4

c²=3-z²．再由条件可得C的范围，可得0＜sinC≤

3

2

，c²=4R²sin²C≤3，故有 0＜

3

4

c²≤

9

4

，再由0＜3-z²≤

9

4

，求得z的范围．

解答：解：（1）在△ABC中，cos2A-cos2B=2cos(

π

6

-A)cos(

π

6

+A)=2（

3

2

cosA+

1

2

sinA）（

3

2

cosA-

1

2

sinA）
=2（

3

4

cos²A-

1

4

sin²A）=

3

2

cos²A-

1

2

 sin²A，
又因为 cos2A-cos2B=1-2sin²A-（2cos²B-1）=2-2sin²A-2cos²B，
∴2-2sin²A-2cos²B=

3

2

cos²A-

1

2

 sin²A，
即 2-2sin²A-2cos²B=

3

2

-2sin²A，∴cos²B=

1

4

，∴cosB=±

1

2

，
∴B=60°或120°．
（2）∵b=

3

≤a，∴B=60°，故A≥60°，C≤60°，∴c≤b=

3

，a≥c．
再由正弦定理可得b=2RsinB，2R=

b

sinB

=

3

3 2

=2．
令z=a-

1

2

c，则z＞0，则a=z+

1

2

c，由余弦定理可得 b²=3=a²+c²-2ac•cosB=(z+

c

2

)2+c²-2（z+

c

2

）c•

1

2

化简可得 z²+

3

4

c²=3，即

3

4

c²=3-z²．
由于 A+C=120°，A≥60°可得 C=120°-A，且 0°＜C≤60°，
故 0＜sinC≤

3

2

，c²=4R²sin²C≤4×

3

4

=3，∴0＜

3

4

c²≤

9

4

，
∴0＜3-z²≤

9

4

，∴3-

9

4

≤z²＜3，故有

3

2

≤z＜

3

，
即

3

2

≤a-

1

2

c＜

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．