Question

已知函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，3]上恒正，则实数a的取值范围为

(

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：讨论a与1的大小，将函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，3]上恒正转化成当0＜a＜1时，0＜ax²-x+

1

2

＜1在[1，3]上恒成立，当a＞1时，ax²-x+

1

2

＞1在[1，3]上恒成立，然后利用分离法可求出a的取值范围．

解答：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，3]上恒正
即0＜ax²-x+

1

2

＜1在[1，3]上恒成立，
∴-

1

2x2

+

1

x

＜a＜

1

2x2

+

1

x

而（-

1

2x2

+

1

x

）_max=

1

2

，（

1

2x2

+

1

x

）_min=[

1

2

(

1

x

+1)2-

1

2

]_min=

7

18

∴

1

2

＜a＜

7

18

不可能，故舍去
当a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[1，3]上恒正
则ax²-x+

1

2

＞1在[1，3]上恒成立，
即a＞（

1

2x2

+

1

x

）_max=[

1

2

(

1

x

+1)2-

1

2

]_max=

3

2

故实数a的取值范围为(

3

2

，+∞)
故答案为：(

3

2

，+∞)

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，同时考查了分类讨论、转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．