Question

f(x)=x2-2mx+m，g(x)=-

1

3

(2x-

1

x

)．若对任意x1∈[

1

2

，2]，总存在x2∈[

1

2

，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），则m的取值范围是

（-∞，

31

18

]

．

Answer 1

分析：由对任意x1∈[

1

2

，2]，总存在x2∈[

1

2

，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），知f（x₁）_min≥g（x₂）_min，由此能求出m的取值范围．

解答：解：∵对任意x1∈[

1

2

，2]，总存在x2∈[

1

2

，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），
∴f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
∵f(x)=x2-2mx+m，g(x)=-

1

3

(2x-

1

x

)，
∴f′（x）=2x-2m，g′(x)=-

2

3

-

1

3x2

，
由f′（x）=2x-2m=0，得x=m，
∵x1∈[

1

2

，2]，f（m）=-m²+m，
∴f（x₁）_min=f（2）=4-3m．
∵g′(x)=-

2

3

-

1

3x2

＜0，
∴x2∈[

1

2

，2]时，g（x₂）是减函数，
∴g（x₂）_min=g（2）=-

1

3

(2×2-

1

2

)=-

7

6

，
∵f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
∴4-3m≥-

7

6

．
解得m≤

31

18

．
故答案为：（-∞，

31

18

]．

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．