Question

13．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）
（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+φ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；
（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2016）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简，再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线；
（Ⅱ）根据函数解析式先求出周期，再求出一个周期内的函数值的和，进而判断出2012与周期的关系，再求出式子和的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）=1-cos（\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}）=1+sin\frac{π}{2}x$．…4 分
列表得：

x	0	1	2	3	4
$\frac{π}{2}x$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
$y=1+sin\frac{π}{2}x$	1	2	1	0	1

描点画图，如下所示

…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．…（8分）
而y=f（x）的周期为4，
2016=4×504，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=4×504=2016．…10 分

点评 本题是关于三角函数的综合题，涉及了倍角公式、诱导公式的应用，“五点作图法”的步骤，函数周期性的应用求式子的值，考查了分析、解决问题能力和作图能力．