Question

14．求函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）+sin2x的最大值．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，从而求得函数的最大值．

解答 解：函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）+sin2x=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）+sin2x
=-cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
故函数的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查利用三角恒等变换化简函数的解析式，正弦函数的值域，属于基础题．