Question

（2013•朝阳区一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

(

2

5

，

2

3

)

．

Answer 1

分析：问题等价于在区间[-2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．

解答：解：在区间[-2，3]上方程ax+2a-f（x）=0恰有四个不相等的实数根，
等价于在区间[-2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，
由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，
函数y=a（x+2）的图象为过定点（-2，0）且斜率为a的直线，
作出它们的图象可得：

由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，
而由斜率公式可得k_CB=

2-0

1-(-2)

=

2

3

，k_CA=

2-0

3-(-2)

=

2

5

，
故实数a的取值范围是：(

2

5

，

2

3

)，
故答案为：(

2

5

，

2

3

)

点评：不本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．