Question

已知函数f(x)=ln(1+x)-

x(1+λx)

1+x

．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a_n}的通项a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，证明：a2n-an+

1

4n

＞ln2．

Answer 1

分析：（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=

1

2

，由于x＞0时，f（x）＜0得出

x(2+x)

2+2x

＞ln(1+x)，考察发现，若取x=

1

k

，则可得出

2k+1

2k(k+1)

＞ln(

k+1

k

)，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论

解答：解：（I）由已知，f（0）=0，f′（x）=

(1-2λ)x-λx2

(1+x)2

，且f′（0）=0…3分
若λ＜

1

2

，则当0＜x＜2（1-2λ）时，f′（x）＞0，所以当0＜x＜2（1-2λ）时，f（x）＞0，
若λ≥

1

2

，则当x＞0时，f′（x）＜0，所以当x＞0时，f（x）＜0
综上，λ的最小值为

1

2

…6分
（ II）令λ=

1

2

，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即

x(2+x)

2+2x

＞ln(1+x)
取x=

1

k

，则

2k+1

2k(k+1)

＞ln(

k+1

k

)…9分
于是a_2n-a_n+

1

4n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

+

1

4n

=

1

2(n+1)

+

1

2(n+1)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+1)

+…+

1

4n

+

1

4n

+

1

4n

=

1

2n

+

1

2(n+1)

+

1

2(n+1)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+2)

+

1

2(n+1)

+…+

1

4n

=

2n-1

k=n

(

1

2k

+

1

2(k+1)

)
=

2n-1

k=n

2k+1

2k(k+1)

＞

2n-1

k=n

ln(

k+1

k

)=ln2n-lnn=ln2
所以a2n-an+

1

4n

＞ln2…12分

点评：本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度