题目内容

设 $数学公式$ ，已知 $数学公式$ 时，f（x）有最小值-8．
（1）求a与b的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）＞0的解集A；
（3）设集合 $数学公式$ ，且A∩B=∅，求实数t的取值范围．

（本小题满分13分）
解：（1）令 $\text{[math]}$ ，
t=log₂x，y=2t²-2at+b，
由已知 $\text{[math]}$ ，即t=-1时，f（x）有最小值-8，
得二次函数的对称轴为 $\text{[math]}$ ，得a=-2，
$\text{[math]}$ ，得b=-6；
即a与b的值分别为-2，-6；
（2）由a与b的值分别为-2，-6，
得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
得log₂x＞1，或log₂x＜-3，
即x＞2，或 $\text{[math]}$ ，
得集合 $\text{[math]}$ ；
（3）集合 $\text{[math]}$ ，而A∩B=∅，
得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，
即实数t的取值范围为 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令 $\text{[math]}$ ，t=log₂x，y=2t²-2at+b，由 $\text{[math]}$ ，即t=-1时，f（x）有最小值-8，得二次函数的对称轴为 $\text{[math]}$ ，得a=-2，由此能求出a与b的值．
（2）由a与b的值分别为-2，-6，得 $\text{[math]}$ ，由此能求出f（x）＞0的解集A．
（3）集合 $\text{[math]}$ ，而A∩B=∅，得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，由此能求出实数t的取值范围．
点评：本题考查二次函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．