Question

f（x）=

4•2011x+2

2011x+1

+5sinx（-1≤x≤1），f_max=M，f_min=N，则M+N=

6

．

Answer 1

分析：设g（x）=

4•2011x+2

2011x+1

=4-

2

2011x+1

，（-1≤x≤1），2011^x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．故g（x）在[-1，1]上的最大值为g（1）=4-

2

2011+1

，最小值为g（-1）=4-

4022

2011+1

，因为函数sinx是奇函数，它在[-1，1]上的最大值与最小值互为相反数，所以最大值与最小值的和为0．所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（1）+g（-1），由此能求出M+N的值．

解答：解：∵f（x）=

4•2011x+2

2011x+1

+5sinx（-1≤x≤1），
∴设g（x）=

4•2011x+2

2011x+1

=4-

2

2011x+1

，（-1≤x≤1），
∵2011^x是R上的增函数，所以g（x）是R上的增函数．
∴g（x）在[-1，1]上的最大值为g（1）=4-

2

2011+1

，最小值为g（-1）=4-

2

1 2011 +1

=4-

4022

2011+1

，
∵函数sinx是奇函数，它在[-1，1]上的最大值与最小值互为相反数，
最大值与最小值的和为0．
所以函数f（x）的最大值M与最小值N之和M+N=g（1）+g（-1）=4-

2

2011+1

+4-

4022

2011+1

=6．
故答案为：6．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，注意函数性质的综合运用，易错点是M+N=g（1）+g（-1）的化简运算方法不当导致出错．