Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(其中a＞0且a≠1)，定义域为（-1，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）函数f（x）的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由．
（3）讨论f（x）函数的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断；
（2）函数f（x）是否有零点，也即判断f（x）=0在定义域内是否有解；
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，通过作差判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，然后按单调性的定义即可判断，其中要分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论；

解答：解：（1）∵函数f（x）的定义域为（-1，1），它关于原点对称，
又f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）令f（x）=loga

1+x

1-x

=0⇒

1+x

1-x

=1⇒1+x=1-x⇒x=0，
又0∈（-1，1），
故f（x）有零点0；
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜2，0＜1+x₁＜1+x₂＜2，
∴0＜

1-x2

1-x1

＜1，0＜

1+x1

1+x2

＜1，
∴0＜

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

＜1，
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函数f（x）是在定义域上减函数．                    
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，函数f（x）在定义域上是增函数．

点评：本题考查复合函数单调性的判断及函数奇偶性的判断，考查对数的运算性质，考查学生的运算变形能力，考查分类讨论思想．